数量关系知识点速记（55 条）

将选项代入题干验证：适用题型——年龄问题、余数问题、不定方程、和差倍比、复杂行程。代入顺序：结合条件估算大小关系，从最可能选项开始；问最大从大到小代，问最小从小到大代。 【考点】能整除先整除：题干出现"是……倍""平均"等字样，先用整除性质排除选项，再代入验证，可大幅提速。 【速记】好代就代，先排后代，问大从大。

题干为纯字母、比例、分数、百分数而无具体数值时，设特殊值简化计算：工程总量设公倍数、利润设成本100、浓度设溶液100、比例设份数。 【考点】设特值原则：①便于计算（设公倍数、设100）；②符合全部条件；③一般不设1（部分题例外），避免掩盖比例关系。 【速记】纯比例无数字，特值来帮忙。

设未知数列方程：①设所求量为x（直接设）或设便于表达其他量的量（间接设）；②找等量关系（总量不变、差额不变、比例关系）；③解方程。 【考点】"比……多/少"直接列差量方程；和差关系用"和"或"差"列式；设x时优选使其他量均为整数的量，减少分数运算。 【速记】设小不设大，设倍不设和。

未知数个数多于方程个数时：①尾数法（系数含5或0）；②奇偶性（系数一奇一偶时先定奇偶）；③整除特性（系数与常数有公因子）；④代入排除。 【考点】ax+by=c：a为偶数则by与c同奇偶；a=5或b=5时用尾数；a、c都是3的倍数则x是3的倍数。未知数须为正整数是隐含前提。 【速记】先看尾数再奇偶，最后整除来兜底。

核心公式：工作总量=工作效率×工作时间。多者合作：总量设为各人完成时间的最小公倍数，效率分别为总量除以各自时间，合作效率相加。 【考点】"甲单独10天完成，乙单独15天完成"，设总量30，甲效率3、乙效率2，合作效率5，合作需6天。 【速记】总量设公倍，效率一除便知。

甲乙轮流施工：先算一个周期的工作量与用时，看总量包含几个完整周期，余量部分按顺序逐人计算。 【考点】注意"循环方向"：甲乙甲乙……余量从甲开始做；最后不足一人完成时，时间按实际工作量比例计算；比较谁先做更省时时，两种顺序各算一遍取小。 【速记】周期算整除，余量按序推。

直线相遇：路程和=速度和×时间；环形相遇：每相遇一次，两人合走一圈。两端同时相向出发的多次相遇：第n次相遇时，路程和=(2n-1)×全程。 【考点】第一次相遇两人合走1个全程，第二次合走3个全程，第三次5个……奇数递增；从两端出发与从一端出发规律不同（一端出发第n次相遇合走2n个全程）。 【速记】相遇看速度和，两端多次2n减1。

追及：路程差=速度差×追及时间；环形追及：每追上一次，快者比慢者多走一圈。 【考点】"落后……追上"直接用路程差公式；钟面问题本质是环形追及（分针速度6度/分，时针0.5度/分，速度差5.5度/分）；追上整数圈回到起点同地相遇。 【速记】追及看速度差，钟面差五度半。

顺流速度=船速+水速；逆流速度=船速-水速。船速=（顺+逆）÷2，水速=（顺-逆）÷2。 【考点】往返平均速度≠船速，除非路程相同且水速为零；电梯问题类比：人顺电梯方向速度相加、逆行相减；漂流物速度即水速。 【速记】顺加逆减，船速取中，水速取半差。

扶梯级数=人走的级数+（或-）扶梯自动运行的级数。顺行：总级数=人走级数+扶梯级数；逆行：总级数=人走级数-扶梯级数。 【考点】扶梯速度不变，人速度与步频已知时，用比例法：同一段扶梯，级数固定，列两次方程相除求扶梯速度；注意区分"每秒走几级"与"每级几秒"。 【速记】顺加逆减同流水，扶梯级数是定量。

核心公式：利润=售价-成本；利润率=利润÷成本；售价=成本×(1+利润率)；打折后售价=原价×折扣。 【考点】成本未知设100；"获利20%"指利润率为20%（相对成本）；"先提价10%再降价10%"最终低于原价（先涨后跌不对称）；总利润=单件利润×销量。 【速记】利润率除成本，涨价降价不对称。

水费电费个人所得税、出租车计价均分段：①找分段点；②各段分别按标准计算；③求和。求总量时先估算落在第几段，再用方程反推。 【考点】"不超过部分按a、超过部分按b"：超过部分的基数是超出量而非总量；反推用量时，先算满前几段费用，差额除以高档单价得超出量。 【速记】分段点先找，各段算再加。

分类用加（每类独立完成）、分步用乘（各步连续完成）；有序排列A、无序组合C。判断标准：取出元素交换顺序若产生新结果为排列，否则为组合。 【考点】"至少"类正向分类复杂时考虑对立面；"任选"多为组合，"排队""排名次"为排列；n个不同元素取m个：A(n,m)=C(n,m)×A(m,m)。 【速记】分类相加，分步相乘，有序排列无序组。

相邻问题用捆绑：将必须相邻的元素看作一个整体，与其他元素排列，再乘以整体内部的排列。 【考点】两步计数：整体外部排列×内部排列；三个及以上元素必须相邻时内部为全排列A(n,n)；"必须连坐""不能分开"是捆绑信号。 【速记】相邻先捆再排，内部别忘全排。

不相邻问题用插空：先排其余无限制元素，再将不相邻元素插入已排元素形成的空隙中。 【考点】n个元素排好形成n+1个空（含两端）；若不相邻元素之间也不能相邻，插入时只能每空至多一个；"不能连续""必须隔开"是插空信号。 【速记】先排别人后插空，两端空位也算空。

相同元素分组给不同对象且每对象至少一个：n个相同元素分给m个人，每人至少1个，方法数C(n-1,m-1)。n个元素间的n-1个空插m-1个板。 【考点】"至少1个"是隔板法前提；若"允许为0"，先借m个元素再还（每对象+1），方法数C(n+m-1,m-1)；不相同元素不能用隔板法。 【速记】相同分不同，至少一个才隔板。

n个元素全部不回到原位置的排列数D(n)：D(1)=0，D(2)=1，D(3)=2，D(4)=9，D(5)=44。递推：D(n)=(n-1)×[D(n-1)+D(n-2)]。 【考点】"每个人都不能拿自己的""全部装错信封"是错位重排信号；只须记住D(4)=9、D(5)=44两个高频值；部分错位时先选出错位的人再乘D。 【速记】错位重排记 1 2 9 44。

概率=满足条件的情况数÷总情况数。总情况数与有利情况数必须同口径（都用排列或都用组合）。 【考点】"至少一个"概率用对立面：1-全不满足的概率；抽签公平性与顺序无关；分步试验概率相乘（独立），分类相加（互斥）。 【速记】分子分母同口径，至少一个走对立。

n次独立重复试验恰好发生k次的概率：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。每次试验相互独立、成功率相同为前提。 【考点】"至多""至少"发生次数：分类求和或用对立面；射击、投篮、做题对错是典型场景；恰好对k次用公式，至多对k次要分类累加。 【速记】恰k次套公式，至多至少分类加。

n人围圆桌排列数=A(n-1,n-1)=(n-1)!，相对位置不变时除以2。（圆桌无首尾，固定1人后其余排列） 【考点】n人环形排列是(n-1)!，比直线排列少一个位置维度；"相对而坐"（如甲乙相邻或相对）先满足特殊条件；项链手环类可翻转问题再除以2。 【速记】圆桌排列 n 减一，可翻转再除二。

公式：A+B-A∩B=总数-都不满足。满足A的加满足B的，减去重复的交集，等于至少满足一个的。 【考点】画文氏图辅助：两个相交圆；求"只满足A"=A-A∩B；求"只满足一个"=A+B-2×A∩B；注意"都不满足"的补集处理。 【速记】加两圈减交集，都不要的打补集。

标准公式：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不满足。非标准式：A+B+C-只满足两个的-2×满足三个的=总数-都不满足。 【考点】区分"只满足两个"与"至少满足两个"；题给"同时满足两个"数据（不含三个）时用非标准式；画三圆文氏图从最内层"三者都"向外逐层标注。 【速记】三圆公式看仔细，恰两至两要分清。

核心等量：两人年龄差恒定不变；每过一年每人年龄加一。设现在年龄列方程，或代入验证。 【考点】"几年后我是你的几倍"用年龄差不变列式：年龄差=倍数关系下的份数差；选项信息充分时代入排除最快；注意"多年前"用负号时间。 【速记】年龄差不变，设现在推将来。

每过7天星期相同；平年365天=52周余1，闰年366天余2：过平年星期加1，过闰年加2（含2月29日）。大月31天：一三五七八十腊。 【考点】闰年判定：能被4整除不能被100整除，或能被400整除；"隔n天"与"过n周"区别；月份内同星期数的日期相差7、14、21、28。 【速记】平年加一闰年加二，大月单例记口诀。

两端都植：棵数=段数+1；只植一端：棵数=段数；两端都不植：棵数=段数-1；环形植树：棵数=段数。段数=总长÷间距。 【考点】锯木头、爬楼梯、敲钟都是植树变体：锯n次得n+1段；从1楼到n楼走n-1层楼梯；方阵最外层每边n人时最外层共4n-4人。 【速记】两端口诀加一减一，环形棵数等于段数。

n行n列实心方阵总人数=n²；最外层人数=4n-4；相邻两层人数差8（每边少2，四边共少8）；层数=(最外层每边人数+1)÷2。 【考点】空心方阵总人数=最外层人数²-最内层内部人数；每层人数构成公差为8的等差数列；奇数层方阵最中间1人。 【速记】外层4n减4，相邻两层差8人。

草生长速度均匀：设每头牛每天吃1份，原有草量=（牛数-草速）×天数。核心方程：牛数₁×天数₁与牛数₂×天数₂的差=草速×天数差。 【考点】先由两组已知条件求草速与原有草量，再解新条件；草在枯萎时草速为负；"排队检票""漏水排水""资源开采"都是牛吃草模型。 【速记】先求草速再求存量，吃草排队一个理。

假设法：假设全是鸡，则兔数=(总脚数-2×总头数)÷2；假设全是兔，鸡数=(4×总头数-总脚数)÷2。 【考点】本质是盈亏思想：假设与实际差÷个体差=另一种数量；变体：大小车运货、真假币称重、对错题得分（做对得a做错扣b）；十字交叉法亦可快速求解。 【速记】假设全鸡多算脚，差除脚差得兔数。

问"至少取多少个保证……"：找最不利（最倒霉）情形的所有数量，再加1。最不利=离目标差一步的极端情况之和。 【考点】"保证有成对的"最不利是每种都只取到差一只；多种颜色取同色、数字和为定值等都要构造"差一点"情形；答案=最不利数+1。 【速记】最倒霉加一就是保证数。

通项：a(n)=a(1)+(n-1)d；前n项和 S(n)=n×a(1)+n(n-1)d/2=n×(首项+末项)÷2=平均数×n。等差中项：2a(n)=a(n-1)+a(n+1)。 【考点】等差数列平均数=中位数（奇数项取中间项，偶数项取中间两项平均）；S(n)的最值用二次函数或符号变化点；"和一定"时差越小积越大。 【速记】和=平均乘个数，中位数即平均数。

三角形内角和180°，外角等于不相邻两内角和；勾股定理 a²+b²=c²（常用3-4-5、5-12-13、6-8-10）；三角形两边之和大于第三边。 【考点】等边三角形面积=(√3/4)a²；直角三角形斜边中线=斜边一半；30°角所对直角边=斜边一半；相似三角形面积比=相似比的平方。 【速记】勾股记345，相似面积比平方。

圆面积=πr²，周长=2πr；扇形面积=(n/360)πr²=（1/2）×弧长×r；弧长=(n/360)×2πr。 【考点】n为圆心角度数；组合图形常用"割补法"转化为规则图形；圆内接正方形对角线=直径；π取3.14估算时注意量级。 【速记】扇形按角度占比例，弧长半径半乘积。

长方体体积=长×宽×高，正方体=棱长³；圆柱=πr²h；圆锥=(1/3)πr²h；球=(4/3)πr³。正四面体、正方体表面积公式随记随用。 【考点】等体积法解决不规则或注水问题：体积守恒列方程；正方体切一刀增加两个面；圆锥体积是同底等高圆柱的三分之一；三视图还原是高频考点。 【速记】圆锥三分之一，切一刀多两面。

已知两类混合后的整体平均值，求两类数量之比：部分平均值写两侧、整体平均值写中间，交叉作差，差值之比=两类基数之比（浓度对应溶液量、增长率对应基期量、平均分对应人数）。 【考点】浓度混合、利润率混合、增长率混合求基期之比、平均分混合求人数之比。 【速记】大减小、小减大，交叉之比是基数之比。

总和固定、求某量的最大/最小值：设所求为x，其余项按题意取极端（"各不相同"取连续自然数，"可以相同"则扎堆取），列方程解x；结果非整数时，问最大向下取整、问最小向上取整。 【考点】得分构造、名额分配、排名构造。 【速记】和定求最值，极端来凑数；最大向下取，最小向上取。

"至少有多少人同时满足所有条件"：反向求补集，把不满足各条件的人数相加，再用总数减去，即得至少同时满足的人数。 【考点】至少多少人三项活动都参加、至少多少人都满意。 【速记】至少都满足，反向加不满足。

a+b≥2√(ab)：两数和一定时，相等则积最大；两数积一定时，相等则和最小。求面积/利润最值时先拆项凑定值再令相等。 【考点】矩形面积最值、分段计费最省、和积互化最值。 【速记】和定积最大，积定和最小，相等取最值。

多种购买/运输方案比价：统一换算成"单位成本"再比较；满减、打折、赠品分别算总支出取最小；注意优惠能否叠加、是否需凑单。 【考点】怎么买最省钱、租车租船最少费用、门票方案选择。 【速记】算清单价再比较，满减打折分开算。

利润率=利润÷成本，折扣按定价乘：先提价再打折时，最终售价=成本×(1+提价率)×折扣，与1比较定盈亏；勿混淆定价基数与成本基数。 【考点】提价再打折是赚是亏、连环折扣。 【速记】提价再打折，连乘与1比大小。

从两端同时出发相向而行：第一次迎面相遇两人共走1个全程；之后每多相遇一次（仍为迎面），共走的路程增加2个全程；故第n次迎面相遇共走(2n-1)个全程。 【考点】第n次相遇的位置与时间、相遇点距端点的距离。 【速记】迎面相遇，一次一程，再遇加两程，第n次共走2n-1程。

分段计算各阶段路程/时间再汇总；前后两段速度不同的平均速度≠速度的平均值，必须用总路程÷总时间。等距离两速度的平均速度=2v1v2÷(v1+v2)（调和平均）。 【考点】上坡下坡往返、前后半程速度不同求平均速度。 【速记】平均速度总路除总时，等距两速调和平均。

同点同向出发：每追上一次快者比慢者多跑一圈；同点背向出发：每相遇一次合跑一圈。第n次追上多跑n圈，第n次相遇合跑n圈。同时不同点需先算初始差距。 【考点】环形追及与相遇、多少秒后第一次追上、相遇n次的时间。 【速记】同向看差一圈，反向看和一圈。

相似图形：对应线段比=相似比k，面积比=k²，体积比=k³；切割、缩放、比例尺问题用相似比快速转化，避免重复计算。 【考点】相似三角形面积、地图比例尺、容器等比放大。 【速记】线比k，面比k方，体比k立方。

直角三角形两直角边平方和等于斜边平方；常用勾股数：3/4/5、5/12/13、6/8/10、7/24/25、8/15/17、9/12/15及各自的整数倍，考场直接套用省去开方。 【考点】靠墙梯子高度、两点间距离、折叠问题求边。 【速记】三四五、五十二三、七二十四二十五，倍数同勾股。

"折线和最小"（马饮水、路边设站）：作其中一点关于直线的对称点，与另一点相连，连线与直线的交点即最优点；原理是利用对称把折线拉直。 【考点】河边取水最短路线、公路上设站使两村距离和最小。 【速记】折线和最小，对称拉直算。

浓度=溶质÷溶液×100%，溶液=溶质+溶剂。加水稀释溶质不变，蒸发溶剂溶质不变，加溶质溶剂不变；混合后溶质相加、溶液相加。 【考点】稀释、加浓、蒸发、两种溶液混合求浓度。 【速记】稀释溶质不变，加浓溶剂不变，混合溶质相加。

倒出a克再补a克水，重复n次后浓度=原浓度×(1-a/总量)ⁿ；多种溶液混合按溶质守恒列方程或用十字交叉。 【考点】倒出一半再补满、两次倒充后的浓度、多溶液混合。 【速记】倒出再补满，浓度乘(1-倒出比)的次方。

"选人再分组/再安排"类题：先用组合C选人，组内或组间需要区分顺序时再排列A，分步相乘；平均分组要除以组数的阶乘（组间无区别）。 【考点】分组分配、每组人数固定的安排、赛事分组。 【速记】先组合分组，再排列定位，分步相乘。

n个元素全排，其中m个元素相对顺序固定（如甲必须在乙前），排列数=A(n,n)÷A(m,m)；"必须相邻"捆绑后整体排列，"不能相邻"先排其余再插空。 【考点】甲在乙前面、部分人顺序固定、相邻与不相邻组合题。 【速记】顺序固定就除阶乘，相邻捆绑，不相邻插空。

"至少一个"型用对立事件：P(至少)=1-P(全不)；独立重复事件分步相乘；分类用加法、分步用乘法，先判断事件间关系再选公式。 【考点】至少一次命中、两步都成功、至少两人同月过生日。 【速记】至少就取反，独立就相乘。

N个空瓶可换1瓶水（喝完还瓶）：买n瓶最多共喝=n×N÷(N-1)，结果向下取整；本质是把"瓶"折价还给商家。 【考点】几个空瓶换一瓶、不买只借最多喝几瓶、瓶盖换酒。 【速记】N瓶换一瓶，n瓶共喝n×N÷(N-1)。

多个仓库货物集中到一处运费最省：逐段比较相邻两点之间两侧的货物总量，货物总是向"重"的一侧流动；每段流向判断完，集中点唯一确定。 【考点】集中在哪个仓库、几站货物并站。 【速记】逐段看两侧，货往重处流。

多人等待的总时间=每个人的等待时间之和；要使总等待最短，耗时短的任务先做（按耗时从小到大排序最优）；"一人操作多机"同理。 【考点】水龙头接水顺序、打印机排队、卸货次序。 【速记】短活先干，总等待最短。

找出循环周期T，用总数÷T的余数定位落点；注意"每n天一次"与"每隔n天一次"的换算：每隔n天=每(n+1)天。 【考点】灯光颜色循环、值班重合日、星期推算。 【速记】总数除以周期看余数，每隔n天即每n+1天。

两集合：A+B-AB=总数-都不满足；三集合标准公式含"都满足"，非标公式：A+B+C-只满足两个-2×三个都满足=总数-都不满足。求"最多"考虑尽量重叠，求"最少"考虑尽量错开。 【考点】三集合非标容斥、最多/最少多少人都满足。 【速记】最多尽量重叠，最少尽量错开；非标用"只二"和"双倍都三"。